高数函数图像速查

sec / csc / cot　·　arcsin / arccos / arctan / arcsec / arccsc / arccot　·　 sinh / cosh / tanh / sech / csch / coth　·　反双曲函数

一句话结论
必须滚瓜烂熟：arcsin, arccos, arctan, arccot 的定义域/值域/导数， sinh, cosh, tanh 的定义与导数，cosh²x−sinh²x=1，以及三个反双曲函数 arsinh, arcosh, artanh 的对数表达式。
知道定义和图像即可：sec, csc, cot（重点是它们的导数和两个积分）。
大多数国内教材不作要求：arcsec, arccsc, arsech, arcsch, arcoth。

一、倒数三角函数 sec / csc / cot

sec csc cot 图像 — 看图像时抓三个要点：①零点处变成竖直渐近线；②原函数的极值点变成倒数函数的极值点，且数值取倒数（如 sin 的 ±1 → csc 的 ±1）；③图像“从中间翻出去”，值域被挖掉 (−1,1)。

二、反三角函数（arcsin / arccos / arctan）

arcsin arccos arctan 图像 — 虚线是限制主值区间后的原函数，点划线是 y=x。反函数图像 = 原图像关于 y=x 翻折，定义域与值域互换，水平渐近线（如 y=π/2）随之变成垂直渐近线。

三、其余反三角函数（arcsec / arccsc / arccot）

arcsec arccsc arccot 图像 — 记忆捷径：`arcsec x = arccos(1/x)`，`arccsc x = arcsin(1/x)`， `arccot x = π/2 − arctan x`。注意 `arccot` 的值域约定各书不同，本书统一取 (0, π)，此时 arccot 是单调递减且处处连续的。

四、双曲函数 sinh / cosh / tanh

sinh cosh tanh 图像 — 把三角函数公式里的“和”改成“差”（平方关系），并在两个 sinh 相乘时变号，就得到双曲函数的公式——这条规律叫 Osborn 规则。cosh 的图像就是悬链线。

五、其余双曲函数 sech / csch / coth

sech csch coth 图像 — 与 sec/csc/cot 完全平行的结构：sech 偶函数、值域 (0,1]；csch 与 coth 都是以 x=0 为垂直渐近线的奇函数，coth 另有水平渐近线 y=±1。

六、反双曲函数（主支）

arsinh arcosh artanh 图像 — 三个都是对数函数——这是高数里最该记住的一句话。积分表里的 `∫dx/√(x²+a²)`、`∫dx/√(x²−a²)`、`∫dx/(a²−x²)` 本质就是这三个反双曲函数。

七、其余反双曲函数

arsech arcsch arcoth 图像 — 全部可以由三个主支 + 倒数关系 `ar·(x) = 主支(1/x)` 得到，不需要单独背。记号上有的书写成 `sinh⁻¹x`、`arcsinh x`，含义相同。

八、四张图帮你记住全部关系

单位圆、双曲线、反函数对称、六边形记忆图 — 左上：单位圆上六个三角函数的几何意义；右上：单位双曲线给出 cosh/sinh；左下：反函数关于 y=x 对称；右下：六边形记忆图（对角互为倒数、顶点等于两邻之积、三个三角形给出三条平方关系）。

九、速查表

定义域、值域、奇偶性

函数	定义域	值域	奇偶	单调性
`sec x`	x ≠ π/2+kπ	(−∞,−1]∪[1,+∞)	偶	分段单调
`csc x`	x ≠ kπ	(−∞,−1]∪[1,+∞)	奇	分段单调
`cot x`	x ≠ kπ	(−∞,+∞)	奇	递减，周期 π
`arcsin x`	[−1,1]	[−π/2,π/2]	奇	递增
`arccos x`	[−1,1]	[0,π]	非奇非偶	递减
`arctan x`	(−∞,+∞)	(−π/2,π/2)	奇	递增
`arccot x`	(−∞,+∞)	(0,π)（本书约定）	非奇非偶	递减
`arcsec x`	\|x\|≥1	[0,π/2)∪(π/2,π]	非奇非偶	分段
`arccsc x`	\|x\|≥1	[−π/2,0)∪(0,π/2]	奇	分段
`sinh x`	(−∞,+∞)	(−∞,+∞)	奇	递增
`cosh x`	(−∞,+∞)	[1,+∞)	偶	先减后增
`tanh x`	(−∞,+∞)	(−1,1)	奇	递增
`sech x`	(−∞,+∞)	(0,1]	偶	先增后减
`csch x`	x ≠ 0	y ≠ 0	奇	两支递减
`coth x`	x ≠ 0	(−∞,−1)∪(1,+∞)	奇	两支递减
`arsinh x`	(−∞,+∞)	(−∞,+∞)	奇	递增
`arcosh x`	[1,+∞)	[0,+∞)	无	递增
`artanh x`	(−1,1)	(−∞,+∞)	奇	递增
`arsech x`	(0,1]	[0,+∞)	无	递减
`arcsch x`	x ≠ 0	y ≠ 0	奇	两支递减
`arcoth x`	\|x\|>1	(−∞,−1)∪(1,+∞)	奇	两支递减

导数（考试真正考的就是这一栏）

函数	导数	函数	导数
`sin x`	cos x	`arcsin x`	1/√(1−x²)
`cos x`	−sin x	`arccos x`	−1/√(1−x²)
`tan x`	sec²x	`arctan x`	1/(1+x²)
`cot x`	−csc²x	`arccot x`	−1/(1+x²)
`sec x`	sec x·tan x	`arcsec x`	1/(\|x\|√(x²−1))
`csc x`	−csc x·cot x	`arccsc x`	−1/(\|x\|√(x²−1))
`sinh x`	cosh x	`arsinh x`	1/√(x²+1)
`cosh x`	sinh x	`arcosh x`	1/√(x²−1)
`tanh x`	sech²x	`artanh x`	1/(1−x²)
`sech x`	−sech x·tanh x	`arcoth x`	1/(1−x²)
`csch x`	−csch x·coth x	`arsech x`	−1/(x√(1−x²))
`coth x`	−csch²x	`arcsch x`	−1/(\|x\|√(1+x²))

对数表达式与常用恒等式

函数	对数表达式
`arsinh x`	ln(x+√(x²+1))，x∈ℝ
`arcosh x`	ln(x+√(x²−1))，x≥1
`artanh x`	½ln((1+x)/(1−x))，\|x\|<1
`arcoth x`	½ln((x+1)/(x−1))，\|x\|>1
`arsech x`	ln((1+√(1−x²))/x)，0<x≤1
`arcsch x`	ln(1/x+√(1/x²+1))，x≠0

恒等式	内容
倒数关系	sec x=1/cos x，csc x=1/sin x，cot x=1/tan x
平方关系	sin²+cos²=1，tan²+1=sec²，1+cot²=csc²
反三角互补	arcsin x+arccos x=π/2，arctan x+arccot x=π/2
双曲平方关系	cosh²x−sinh²x=1，1−tanh²x=sech²x，coth²x−1=csch²x
双曲倍角	sinh2x=2sinh x cosh x，cosh2x=cosh²x+sinh²x=2cosh²x−1

十、怎么记

“co-”两个字一起记。六个三角函数分两组：带 co 的 cos、cot、csc；不带的 sin、tan、sec。互为倒数的一定是“跨组配对”：sin↔csc、cos↔sec、tan↔cot。
导数符号看前缀。带 co 的三个导数都带负号（cos′= −sin，cot′= −csc²，csc′= −csc·cot），不带的三个都是正的（sin′=cos，tan′=sec²，sec′=sec·tan）。只需额外记住 sec、csc 的导数还多乘一个因子。
图像靠“倒过来”。sec/csc 的图像就是把 cos/sin 的图像取倒数：原函数的零点 → 竖直渐近线；原函数的 ±1 → 倒数函数的 ±1；原函数在 (−1,1) 里的部分 → 值域被挖掉。
反三角函数只背一张表。arcsin→[−π/2,π/2]，arccos→[0,π]，arctan→(−π/2,π/2)， arccot→(0,π)。其余全部由 arcsec=arccos(1/x)、arccsc=arcsin(1/x)、arccot=π/2−arctan 推出。导数的规律：结果是“1/√(1−x²)”的那一对（arcsin、arccos）互为相反数；“1/(1+x²)”的那一对（arctan、arccot）也互为相反数——记住一个，另一个加负号。
双曲函数 = 三角函数的“符号改写版”。把 e^x 与 e^{−x} 的“和”看成 cosh、“差”看成 sinh。 Osborn 规则：凡是公式里出现两个 sinh 相乘，就把加号改成减号，减号改成加号（cos²+sin²=1 → cosh²−sinh²=1；1+tan²=sec² → 1−tanh²=sech²）。
反双曲函数不要死背。从 y=arsinh x 出发：x=(e^y−e^{−y})/2，两边乘 2e^y 得 e^{2y}−2xe^y−1=0，解出 e^y = x+√(x²+1)（取正根），于是 y=ln(x+√(x²+1))。其他几个解同一个二次方程即可，记住“根号里是 x² 加还是减、外面是 x 还是 1/x”。
六边形记忆图当草稿纸工具。画一个正六边形，按 sin、cos、cot、csc、sec、tan 的顺序（顺时针从左上开始）把六个名字写在顶点上，中心写 1。对角互为倒数；任一顶点等于相邻两顶点之积；三个三角形给出三条平方关系。考试前在草稿纸角落画一次，全部公式秒回。
定义域用“反函数的值域”倒推。如 arccos 的值域是 [0,π]，所以 cos 只能在 [0,π] 上取反函数； arcsec 的值域是 [0,π/2)∪(π/2,π]，所以 sec 的对应区间是 [0,π/2)∪(π/2,π]，其值域自然就是 |x|≥1。

十一、高数里真正要用到它们的场合

场合	用到的函数	要掌握到什么程度
基本积分表	∫dx/√(a²−x²)=arcsin(x/a)+C ∫dx/(a²+x²)=(1/a)arctan(x/a)+C ∫dx/√(x²±a²)=ln\|x+√(x²±a²)\|+C	必须闭卷写出，且知道后者就是 arsinh / arcosh
三角有理式积分	∫sec x dx=ln\|sec x+tan x\|+C ∫csc x dx=ln\|csc x−cot x\|+C ∫cot x dx=ln\|sin x\|+C	sec/csc/cot 主要就活在这三个公式里
三角代换	x=a sin t、x=a tan t、x=a sec t	会画直角三角形回代，注意 t 的取值范围与 arcsec 的符号讨论
泰勒/麦克劳林展开	arctan x、arcsin x、sinh x、cosh x、arsinh x	arctan/arcsin 的展开要会（求 π 的级数、极限题常用），sinh/cosh 的展开记住即可
微分方程与工程数学	cosh、sinh、tanh	知道定义和导数，会解 y″−a²y=0 时用它们写通解
复变函数（后续课程）	全部六个双曲函数及其反函数	此时才需要系统的公式，高数阶段不必准备

提醒：不同学校、不同教材（同济版、华科版、考研大纲）对 arcsec/arccsc、arccot 值域约定以及双曲函数的考查深度并不一致。上面按国内主流教材的通常要求给出，具体以你所用教材与教学大纲为准。

本页所有图像由 make_math_graphs.py 用 matplotlib 生成；所有公式断言由 verify_math.py 数值校验（41 项全部通过）。